VECTORES EN EL PLANO


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1 VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que los contiene Sentido: está dado por la orientación de la flecha. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. IGUALDAD DE VECTORES: dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección e igual sentido. VECTORES ESPECIALES: VECTOR NULO: Su símbolo es 0. Es el vector cuyo módulo es cero, es decir que su origen coincide con el extremo, y se representa como un punto. VECTOR OPUESTO: El vector v es opuesto al v si tienen igual dirección y módulo pero sentido contrario. Existen dos métodos para sumar vectores: SUMA DE VECTORES a) Regla del paralelogramo Regla de la poligonal Para más de dos vectores:

2 DIFERENCIA DE VECTORES Como todo vector tiene su opuesto, la resta se puede definir como la suma de su opuesto: u v = u v Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Un vector w es combinación lineal de otros vectores v 1, v 2, 3 si existen los escalares u u u (reales) α1, α2, α 3,... tales que w = α1v 1 α2v 2 α3v 3... v Un conjunto de vectores linealmente independientes definen un espacio 2 3,,... PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO Se llama producto de un vector v por un número k, al vector que tiene: La misma dirección de v El módulo es igual al producto de k por el módulo v. El sentido lo da el signo de k, si es positivo será del mismo sentido que v, si es negativo será de sentido contrario. Ejemplo a: 2. v v Ejemplo b: -2. v v 2. v -2. v

3 COORDENADAS CARTESIANAS VECTORES EN EL ESPACIO Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares ( o dos si son el plano). Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Si tomamos tres vectores unitarios, $ i sobre OX, $ j sobre OY y k $ sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que: A= A $ i A $ j A k$ Método Algebraico para la Suma de vectores Dados tres vectores: A = Ai $ A$ j Ak$ B = Bi $ B$ j Bk$ C = C $ i C $ j C k$ La expresión correspondiente al vector suma S = A B C es: S = ( A B C ) $ i ( A B C ) $ j ( A B C ) k$ x x x y y y z z z Conmutativa: A B= B A Elemento Neutro: A 0 = 0 A Asociativa: A B C = A B C Elemento Simétrico: A A = 0 Producto de un vector por un escalar El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por k v, es otro vector con las siguientes características: 1.- Tiene la misma dirección que v. 2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.

4 3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo). Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector. Conmutativa: ka. = Ak. Distributiva: A. B C = A. B AC. Elemento Neutro: 1. A= A Elemento Simétrico: 1. A= A Producto escalar de dos vectores vw El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como., se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores v y w v = v $ $ $ xi vy j vzk, expresados en un mismo sistema de coordenadas: w= w $ $ $ xi wy j wzk $$ ii. = $$ j. j= kk $$. = 1 teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores : $ ij. $ = $$ jk. = $ ik. $ = 0 El resultado de multiplicar escalarmente v por w es: vw. = vw x x vw y y vw z. z Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan (sus módulos), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula: vw. = v. w.cosvw Conmutativa: vw. = wv. r r r r.. vw.. u Asociativa: v ( wu) = ( ) Además: v. v = 0 v = 0 vw. = 0 v w r r r r r Distributiva: v. ( w u) = vw. vu. Proyección ortogonal El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro r sobre él. vu r de v sobre u r v = r u v cos vu vu. = vv. u r r u

5 Aplicación: ángulo entre dos vectores Como: vw. = v. w.cosvw entonces se deduce que el ángulo entre dos vectores puede calcularse como:. cos vw vw = que expresado según sus coordenadas cartesianas resulta: v. w vw x x vw y y vz. wz cos vw = v. w cos vw = vw vw v. w x x y y z z x y z. x y z v v v w w w El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares Producto vectorial El producto vectorial de los vectores a a b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b, Se escribe a b o también ax b a b = a. b. senab n $ donde $ n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b, No es conmutativa a b b a = Distributiva: ( ) r r r uur r r a b c = a b a c El módulo del producto vectorial resulta ser igual gráficamente el área del paralelogramo OACB que tiene por lados a y b Área del paralelogramo OABC = base x alta = Area = a. b. senab

6 En forma cartesiana se calcula realizando la siguiente matriz: $ i $ j k$ a b = ax ay az bx by b z

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