RESISTENCIA A ESFUERZO CORTANTE


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1 Capítulo 4 RESISTENCIA A ESFUERZO CORTANTE

2 Problemas de Geotecnia y Cimientos 0

3 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4. Calcular los esfuerzos que actúan sobre el plano π, que forma un ángulo de 30º con respecto al plano sobre el que actúa la tensión principal mayor (figura 4.). 400 kn / m π 00 kn / m α 30º 00 kn / m 400 kn / m Figura 4. SOLUCIÓN ) Cálculo analítico En un estado de tensiones bidimensional, las tensiones que actúan en cualquier plano que pasa por un punto se pueden representar gráficamente con el círculo de Mohr. Si un plano π forma un ángulo a con el plano principal mayor, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ) en dicho plano vienen dadas por: σ σ cos a + σ 3 sen a σ σ3 τ senα siendo σ y σ 3 las tensiones principales mayor y menor, respectivamente.

4 Problemas de Geotecnia y Cimientos τ (kn / m ) p 300 π 86'6 B P α 30º α 60º σ 00 C 350 σ σ (kn / m ) π Figura 4. Sustituyendo valores: σ 400 cos 30º + 00 sen 30º 350 kn / m τ sen 60º 86'60 kn/ m ) Cálculo gráfico (figura 4.) En primer lugar, se representa el círculo de Mohr, cuyo diámetro es: σ - σ 3 00 kn / m y cuyo centro tiene por abcisa: p (σ + σ 3 ) / 300 kn / m

5 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante Seguidamente se debe buscar el polo P. Para ello, por el punto (400,0), que representa al plano principal mayor, se traza una paralela a éste (horizontal), cortando al círculo en el polo P. Trazando ahora por el polo P una paralela al plano π, ésta corta al círculo de Mohr en el punto B, cuyas coordenadas representan las tensiones en dicho plano, resultando ser: σ 350 kn / m τ 86'6 kn / m Obsérvese que si el plano π forma un ángulo α 30º con el plano principal mayor, el ángulo central en el círculo de Mohr es el doble, es decir, 60º. 3

6 Problemas de Geotecnia y Cimientos PROBLEMA 4. Obtener la magnitud y dirección de los esfuerzos principales, para el estado de tensiones representado en la figura º ( Tensiones en kn / m ) Figura 4.3 SOLUCIÓN ) Cálculo gráfico (figura 4.4) En primer lugar se debe dibujar el círculo de Mohr. Dado que el enunciado proporciona las tensiones en dos planos perpendiculares, se conocen los puntos S (400,00) y S (600, -00) del círculo. Si se unen dichos puntos con una recta, la intersección de esta recta con el eje de abcisas proporciona el centro del círculo de Mohr que corta al eje de abcisas en los puntos que representan las tensiones principales, resultando ser: σ 73'6 kn / m σ 3 76'4 kn / m 4

7 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante Plano principal menor τ (kn / m ) Plano principal menor σ 76'4 P S β α 3 Plano principal mayor σ 73'6 Plano principal mayor σ (kn / m ) -00 S -300 σ 3 p σ Figura 4.4 Trazando ahora por S una paralela al plano cuyo estado tensional representa, se obtiene el polo P en la intersección con el círculo de Mohr (el mismo resultado se hubiese obtenido tomando el punto S ). Finalmente, uniendo el polo P con los puntos (σ, 0) y (σ 3, 0), se obtienen las direcciones de los planos principales. ) Cálculo analítico Se conocen las tensiones en dos planos perpendiculares entre sí. La abcisa del centro del círculo de Mohr es: y el radio es: σ + σ3 p 500 kn/ m () σ σ r 3 () 5

8 Problemas de Geotecnia y Cimientos Puesto que los puntos S (400, 00) y S (600, -00) pertenecen al círculo, tomando por ejemplo el segundo de ellos, se debe verificar: ( σ 500) + τ ( ) + ( 00) r Por lo tanto: r 3'6kN/ m Resolviendo ahora las ecuaciones () y (), se obtiene: σ 73'6 kn / m σ 3 76'4 kn / m Resta finalmente orientar los planos principales. Sea a el ángulo que forma el plano representado por S con el plano principal mayor. En el plano de Mohr, el ángulo central formado por estos dos puntos es a, y se verifica que (figura 4.4): a + ß 80º Como: 00 sen β β 63'43º 3'6 entonces: α 58'9º El plano principal menor es perpendicular al plano principal mayor. 6

9 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4.3 En un punto de una arena se ha producido la rotura cuando en el plano de máxima tensión cortante actúan los siguientes esfuerzos: o Tensión normal total: 384 kn / m o Tensión cortante: 3 kn / m o Presión intersticial: 36 kn / m Determinar: a) Tensiones efectivas principales. b) Ángulo de rozamiento de la arena. c) Tensiones efectivas en los planos de rotura. d) Ángulo que forman los planos de rotura. SOLUCIÓN a) Tensiones principales El plano de máxima tensión cortante es el representado por el punto A (figura 4.5) y las tensiones que actúan según el enunciado son las siguientes: Totales: σ 384 kn/ m u 36 kn/ m τ 3 kn/ m Por consiguiente, las efectivas serán: σ ' σ u τ 3 kn/ m 48 kn/ m 7

10 Problemas de Geotecnia y Cimientos τ (kn / m ) φ' 3 R A' A O φ' φ' σ' α B φ' r φ' 3 σ 3 σ' C' C r σ σ', σ (kn / m ) R p' 48 u 36 p 384 Figura 4.5 Con estos datos, es evidente que la abcisa del centro del círculo de Mohr en efectivas p' es 48 kn/m y el radio r de los círculos es 3 kn/m. Por lo tanto, se puede escribir que: σ ' p' + r kn/ m σ ' 3 p' r kn/ m b) Ángulo de rozamiento de la arena Al tratarse de una arena, la cohesión efectiva c' es nula. Por otro lado, como en el enunciado se indica que se ha producido la rotura, el círculo de Mohr en efectivas debe ser tangente a la línea de resistencia intrínseca y esta condición se expresa en el triángulo OC'R (figura 4.5) como: r p' senφ' 8

11 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante Sustituyendo valores, se obtiene: 3 φ ' arc sen 3'89º 48 c) Tensiones efectivas en los planos de rotura Los planos de rotura teóricos son dos: R y R (figura 4.5). El primero se tiene con una tensión de corte positiva y el segundo con el mismo valor de la tensión de corte pero negativa, y en ambos, la tensión normal efectiva es la misma. Se trata de calcular las coordenadas de los puntos R y R. En el triángulo OC'R se tiene: OR p' cosφ' 48 cos3'89º 0'57 kn/ m Y ahora en el triángulo OBR : σ τ ' R OR cosφ' R OR senφ' 78'79 '4 kn/ m kn/ m Las coordenadas del otro plano de rotura (plano conjugado) serán: σ ' 78'79 kn/ m τ R R '4 kn/ m 9

12 Problemas de Geotecnia y Cimientos d) Ángulo que forman los planos de rotura entre sí Como se desprende de la figura 4.5, el ángulo central entre R y R es: α 80º φ' 80 3'89 6'º Por lo tanto, el ángulo formado por los planos es la mitad, es decir: α 58'º 30

13 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4.4 Sobre un suelo se han realizado ensayos triaxiales CU obteniéndose una cohesión efectiva c' 47'6 kn/m, un ángulo de rozamiento efectivo φ' 30º, una cohesión aparente c cu 30 kn/m y un ángulo de rozamiento aparente φ cu 30º. En uno de los ensayos, la muestra rompió cuando la tensión vertical era de 500 kn / m. Se pide calcular en este ensayo la presión intersticial en el momento de la rotura y la presión de célula aplicada. SOLUCIÓN Los parámetros de resistencia intrínsecos (efectivos) son válidos en cualquier situación, mientras que los parámetros aparentes (totales) solo pueden emplearse en las mismas circunstancias en las que se obtuvieron, en este caso, ensayo CU. Puesto que se trata de una situación de rotura, el círculo de Mohr en efectivas será tangente a la línea de resistencia intrínseca. Además, como el ensayo es CU, el círculo de Mohr en totales será tangente a la línea de resistencia aparente (figura 4.6). Estas condiciones de tangencia se expresan como: r (p' + c' cot φ' ) senφ' (p' + 47'6 cot 30º) sen30º () r (p + c cot φ ) senφ (p 30 cot 30º) sen30º () cu cu cu + Por otra parte, los círculos están desplazados horizontalmente un valor igual a la presión intersticial en rotura, es decir: p p' + u (3) Finalmente, como el ensayo se realizó con una presión vertical de 500 kn/m, se puede escribir: p 500 r (4) 3

14 Problemas de Geotecnia y Cimientos Ø' 30º τ (kn / m ) Ø cu 30º r r c' 47'6 c cu 30 c' ctg Ø' c cu ctg Øcu σ' σ O' O σ' σ p' u p σ', σ (kn / m ) Figura 4.6 Se dispone de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (r, p, p' y u) que resuelto proporciona los siguientes valores: p 36'0 kn/m p' 85'53 kn/m r 83'99 kn/m u 30'84 kn/ m Resta calcular la presión de célula. Como: σ + σ3 36'0kN/ m entonces, se obtiene que: σ3 p σ 3 3'0 kn/ m 3

15 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4.5 En un ensayo triaxial se han obtenido los siguientes resultados en la fase de saturación: Presión de Presión de Presión célula cola intersticial (kn / m ) (kn / m ) (kn / m ) Determinar el valor del parámetro B de presión intersticial en cada etapa. SOLUCIÓN En el ensayo triaxial (figura 4.7), cuando se produce una variación hidrostática de la presión de célula ( σ 3 ), inmediatamente se origina una variación de presión intersticial en la muestra ( u). En estas condiciones, el parámetro de presión intersticial B se define como: u B σ 3 y su valor depende del grado de saturación de la muestra. Para un grado de saturación del 00% el parámetro B es igual a la unidad. La aplicación de una presión de cola a la muestra tiene por objeto asegurar su saturación y aplicar en la misma una presión intersticial. 33

16 Problemas de Geotecnia y Cimientos σ 3 u σ 3 u c Figura 4.7 El procedimiento consiste en aplicar una presión de célula y registrar la presión intersticial en la muestra. Seguidamente, se aplica la presión de cola hasta igualar la presión de célula (puede ser 0 kn / m inferior para asegurar presiones efectivas positivas en la muestra) y se comprueba que la presión intersticial en la muestra iguala a la presión de cola o está muy próxima. El proceso se repite incrementando la presión de célula, registrar nuevamente la presión intersticial en la muestra y calcular el valor del parámetro B con la expresión anterior. Si no es la unidad, se aplica otra vez presión de cola y se repite el proceso. Los cálculos y resultados pueden ordenarse en la siguiente tabla: Presión de Presión de Presión u σ 3 B u / σ 3 célula cola intersticial (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) (kn/m )

17 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4.6 En una arcilla normalmente consolidada se realiza un ensayo triaxial CU con una presión de cola de 00 kn / m y consolidando con una presión de célula de 300 kn / m, alcanzándose la rotura con un desviador de 00 kn / m e igual a la presión intersticial en rotura. Se pide calcular: a) Ángulo de rozamiento efectivo y parámetros de presión intersticial de la arcilla. b) Desviador que se hubiese obtenido si la rotura se hubiese realizado con drenaje. c) Presión intersticial en rotura si tras la consolidación a 300 kn / m se cierra el drenaje, se incrementa la presión de célula a 500 kn / m y se procede a romper la muestra manteniendo el drenaje cerrado. SOLUCIÓN a) Ángulo de rozamiento efectivo y parámetros de presión intersticial En el ensayo CU pueden considerarse los estados reflejados en la figura 4.8: - ESTADO : Aplicación de la presión de cola u c 00 kn / m y de una presión de célula σ kn / m, permitiendo la consolidación, es decir, cuando finalice ésta, la presión intersticial en la muestra será igual a la presión de cola. - ESTADO : Estado de rotura. Finalizada la consolidación, se cierra el drenaje y se procede a incrementar la presión vertical σ hasta alcanzar la rotura. Como en la muestra se incrementa la presión total vertical aplicada, se producirá en cada incremento una variación de presión intersticial, cuya estimación puede realizarse con la fórmula de Skempton y que no puede disiparse ya que el drenaje está cerrado. En el momento de rotura, la presión intersticial tendrá un valor u r 00 kn / m. 35

18 Problemas de Geotecnia y Cimientos 300 kn / m σ 300 kn / m 300 kn / m 00 kn / m 00 kn / m u 00 kn / m c ESTADO ESTADO Figura 4.8 Según el enunciado, el desviador en rotura vale: σ - σ 3 00 kn / m. Como σ kn / m, entonces: σ 500 kn / m p (σ + σ 3 ) / 400 kn / m Como la presión intersticial en rotura fue de 00 kn / m, resulta que: p' p - u r kn / m Siendo la arcilla normalmente consolidada, la cohesión efectiva es nula, y en el estado de rotura, el círculo de Mohr en efectivas es tangente a la línea de resistencia intrínseca. Esta condición se expresa, si la cohesión efectiva es nula, como: sen φ' r / p' ((σ - σ 3 ) / ) / p'00 / 00 0'5 36

19 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante En consecuencia, el ángulo de rozamiento efectivo de la arcilla es 30º. Calculemos ahora los parámetros de presión intersticial. Como se aplica una presión de cola, la muestra está saturada y por consiguiente B. Para el cálculo del parámetro A de presión intersticial, debe utilizarse la fórmula de Skempton: u B [ σ 3 + A( σ - σ 3 ) ] fórmula que proporciona la variación de presión intersticial al pasar de un estado a otro. Del estado al estado, las variaciones de presiones totales son: σ 3 0 σ kn / m Sustituyendo: u 00 A u r - u c kn / m de donde se obtiene: A 0'5 φ' 30º A 0'5 37

20 Problemas de Geotecnia y Cimientos 300 kn / m σ 300 kn / m 300 kn / m 00 kn / m 00 kn / m u 00 kn / m c u c 00 kn / m ESTADO ESTADO Figura 4.9 b) Desviador en rotura en el ensayo CD En el ensayo CD, pueden considerarse los estados reflejados en la figura 4.9: - ESTADO : Aplicación de la presión de cola u c 00 kn/m y de una presión de célula σ kn / m, permitiendo la consolidación, es decir, cuando finalice la consolidación, la presión intersticial en la muestra será igual a la presión de cola. - ESTADO : Estado de rotura. Finalizada la consolidación, se mantiene el drenaje abierto y se procede a incrementar la presión vertical σ permitiendo la disipación de las variaciones de presión intersticial que se puedan producir en la muestra. En rotura, teóricamente, la presión intersticial es la misma que la del estado anterior, es decir, igual a la presión de cola. 38

21 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante La condición de tangencia del círculo de Mohr en efectivas a la línea de resistencia intrínseca se expresa ahora como: o también: p' sen 30º 0'5 p' r 0'5 (p-u c ) 0'5 (p- 00) 0'5 [ (s + s 3 ) / 00 ] r (s - s 3 ) / de donde se deduce que: s 700 kn / m y la presión efectiva será: s' s - u c 600 kn / m El desviador en rotura es: s - s kn / m c) Presión intersticial en el ensayo sin drenaje En el ensayo del enunciado pueden considerarse los siguientes estados (figura 4.0): - ESTADO : Aplicación de la presión de cola u c 00 kn / m y de una presión de célula σ kn / m, permitiendo la consolidación, es decir, cuando finalice la consolidación, la presión intersticial en la muestra será igual a la presión de cola. - ESTADO : Se cierra el drenaje y se procede a incrementar la presión de célula a σ kn / m. La presión intersticial en la muestra variará, alcanzando un valor u. 39

22 Problemas de Geotecnia y Cimientos 300 kn / m 500 kn / m σ 300 kn / m 500 kn / m 500 kn / m 00 kn / m u u r u c 00 kn / m ESTADO ESTADO ESTADO 3 Figura 4.0 Como al pasar del estado al estado las variaciones de presiones totales producidas son: σ kn/m σ kn/m la fórmula de Skempton proporciona la siguiente variación de presión intersticial: u B [ σ 3 + A( σ - σ 3 ) ] 00 kn/m y por lo tanto u u c kn/m Como se puede deducir fácilmente, las tensiones efectivas son iguales a las del estado. - ESTADO 3: Estado de rotura. Manteniendo el drenaje cerrado, se procede a incrementar la presión vertical σ hasta la rotura en donde la presión intersticial habrá alcanzado un valor u r. 40

23 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante La condición de tangencia del círculo de Mohr en efectivas a la línea de resistencia intrínseca se sigue expresando como: o también: p' sen 30º 0'5 p' r 0'5 (p - u r ) 0'5 [ (s + s 3 ) / - u r ] r (s - s 3 ) / de donde se deduce que: s - 3s 3 - u r () La variación de presión intersticial que se produce al pasar del estado al estado 3 de rotura puede estimarse con la fórmula de Skempton. Como entonces: y por lo tanto: σ σ 500 kn/m σ 3 0 u B [ σ 3 + A ( σ - σ 3 ) ] [ 0 + 0'5 (σ - σ 3-0) ] 0'5 (σ - σ 3 ) u r u + u '5 (σ - 500) () Como se observa se ha admitido que A 0'5 valor obtenido en el ensayo CU. El coeficiente A de presión intersticial no es un parámetro intrínseco y puede cuestionarse esta hipótesis. Sin embargo, puede observarse que entre el ensayo CU y éste sin drenaje, la única diferencia es el estado de este último en el que no se produce ninguna variación de presiones efectivas en la muestra. En consecuencia, puede admitirse dicho valor del parámetro A. Las ecuaciones () y () permiten obtener los siguientes valores: σ 700 kn/m u r 400 kn/m 4

24 Problemas de Geotecnia y Cimientos PROBLEMA 4.7 Un laboratorio ha proporcionado los siguientes resultados de un ensayo triaxial CU realizado sobre una arcilla aplicando una contrapresión (presión de cola) de 600 kn / m : Presión vertical Presión intersticial Presión lateral en rotura en rotura (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) Se pide: a) Valores de los parámetros de resistencia intrínsecos b) Si otra muestra de arcilla se somete a otro ensayo triaxial CU aplicando una presión lateral de 900 kn/m y la misma contrapresión anterior, pero permitiendo solamente una consolidación del 50 %, qué resistencia sin drenaje se obtendría? SOLUCIÓN a) Parámetros intrínsecos Los resultados proporcionados por el laboratorio permiten obtener en rotura las presiones efectivas mayor (s' ) y menor (s' 3 ), la tensión efectiva media (p'), el radio de los círculos de Mohr (r), el incremento de presión intersticial (?u) y el parámetro A de presión intersticial. 4

25 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante τ φ' B r c' O σ' 3 C' σ' σ' c' / tg Ø' p' Figura 4. En la tabla 4. se han recogido los resultados obtenidos. El parámetro A de presión intersticial se obtiene de la fórmula de Skempton, teniendo en cuenta que σ 3 0 y B. Como puede observarse, el valor de A es muy similar en los ensayos y. Muy diferente a estos es el deducido en el ensayo 3. Como en los tres ensayos se ha producido la rotura, teóricamente, los tres círculos de Mohr en efectivas deben ser tangentes a la línea de resistencia intrínseca. Para un círculo, la condición de tangencia es (figura 4.): c' + p' sen φ' r tgφ' y despejando la cohesión efectiva: c' r p' tg φ' cos φ' 43

26 Problemas de Geotecnia y Cimientos Tabla 4. Ensayo σ 3 σ u r σ' 3 σ' p' r u A σ' + σ' (σ 3-u r) (σ -u r) ( 3 ) σ' ' ( σ 3 ) u (u r - 600) ( ) σ' ' σ ' ' '938-0'94 0'0497 Si se tienen dos círculos de radios r y r, y presiones efectivas medias p' y p', respectivamente, con los que se desea obtener la tangente común, se deberá verificar: y operando: r r p' tg φ' p' tg φ' cos φ' cos φ' r r senφ ' p' p' Los resultados que se obtienen utilizando las fórmulas anteriores vienen indicados en la tabla 4.. Tabla 4. Ensayos φ' c' (KN/m ) y y 3 y 3 6'08º 63'60º 5'9º 0'7-76'0-77'44 Se deduce que el ensayo 3 es erróneo y debe desecharse. En consecuencia, los parámetros intrínsecos a adoptar son: φ' 6'08º c' 0'7 kn/m 44

27 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante 600 kn / m 900 kn / m 600 kn / m u c 600 kn / m 900 kn / m 900 kn / m u 900 kn / m 600 kn / m 900 kn / m u c 600 kn / m u c 600 kn / m ESTADO (consolidación) ESTADO (t 0) 900 kn / m σ r 900 kn / m 750 kn / m 900 kn / m 900 kn / m u r 900 kn / m 900 kn / m σ r ESTADO 3 (cierre drenaje) ESTADO 4 (rotura) Figura 4. b) Resistencia a corte sin drenaje Los estados a considerar son los reflejados en la figura 4.: - ESTADO : Consolidación, aplicando una presión de cola de 600 kn/m y una presión de célula del mismo valor. - ESTADO : Se incrementa la presión de célula a 900 kn / m. Inmediatamente (t 0) se producirá un incremento de presión intersticial. Aplicando la fórmula de Skempton, este incremento es igual a 300 kn / m, y por lo tanto, la presión intersticial en este estado será u 900 kn / m. 45

28 Problemas de Geotecnia y Cimientos - ESTADO 3: Aplicada la presión lateral de 900 kn / m, se deja consolidar el 50 %. Si la consolidación fuese del 00 %, la presión intersticial tendría que haber disminuido desde 900 kn / m a 600 kn / m (presión de cola). Como solamente es el 50 %, ello quiere decir que el drenaje se cierra cuando la presión intersticial es igual a 750 kn / m. - ESTADO 4: Con el drenaje cerrado, se incrementa la presión vertical hasta la rotura, que se produce con un valor σ r. En ese momento la presión intersticial valdrá u r. Aplicando la fórmula de Skempton, se producirá el siguiente incremento de presión intersticial: u B ( σ 3 + A ( σ - σ 3 ) ) ( 0 + A ( σ - 0 ) ) A ( σ r ) Tomando A - 0'94, la presión intersticial en rotura será: u r 750 0'94 ( σ r ) Como se está en rotura, la condición de tangencia se expresa: c' tg + p ur sen φ' r φ' σ + 6'08º 0'7 tg r '94 ( σ r σ 900) sen 6'08º r 900 Operando, se obtiene: σ r 85'67 kn / m La resistencia a corte sin drenaje (c u ) es el radio del círculo de Mohr en rotura, es decir: 85' c u 9'83 kn/ m 46

29 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4.8 Una muestra de arcilla se consolida en el triaxial con una presión de célula de 00 kn / m y una contrapresión de 00 kn / m. A continuación se incrementa la presión de célula a 300 kn / m y la presión vertical a 400 kn / m, permitiéndose el drenaje de la muestra hasta que se alcanza una presión intersticial de 50 kn / m, momento en el que se cierra la llave de drenaje y se procede a incrementar la presión lateral a 500 kn / m y seguidamente la presión vertical hasta la rotura. Sabiendo que la arcilla tiene un ángulo de rozamiento efectivo de 5º, una cohesión efectiva de 0 kn / m y que A 0', se pide calcular la presión intersticial y la presión vertical en rotura. SOLUCIÓN Es similar al problema 4.7. En la figura 4.3 se tienen los estados a considerar. En el estado, la presión intersticial u que se tiene para t 0 se calcula del siguiente modo con la fórmula de Skempton: σ kn / m σ kn / m u [ ' ( ) ] 0 kn / m u u c + u kn / m Análogamente, en el estado de rotura, la presión intersticial se calcula del siguiente modo: σ σ r 400 σ kn / m u [ ' (σ r ) ] u r 50 + u ' σ r 47

30 Problemas de Geotecnia y Cimientos 00 kn / m 400 kn / m 00 kn / m u c 00 kn / m 300 kn / m u 300 kn / m 00 kn / m 400 kn / m u c 00 kn / m u c 00 kn / m ESTADO 0 (consolidación) ESTADO ( t 0 ) 400 kn / m σ r 50 kn / m 300 kn / m u 300 kn / m 500 kn / m u r 500 kn / m 400 kn / m σ r ESTADO ( cierre llave ) Figura 4.3 ESTADO (rotura) Estableciendo la condición de tangencia: c' + p ur sen φ' r tgφ' 0 tg5º σr 'σr y operando convenientemente, se obtiene: σ sen 5º r 500 σ r 76'78 kn / m ; u r 373'36 kn / m 48

31 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante PROBLEMA 4.9 Una muestra inalterada de una arcilla ha proporcionado en laboratorio una humedad del 5%, un peso específico relativo de las partículas de '75, un peso específico seco de 5'6 kn / m 3 y una resistencia a compresión simple de 96 kn / m. Se sabe además que el ángulo de rozamiento efectivo de esa arcilla es de 5º. Otra muestra inalterada de dicha arcilla se introduce en el triaxial teniendo una succión de - 40 kn / m y midiéndose una presión intersticial de 96 kn / m inmediatamente después de aplicar una presión de célula de 00 kn / m y una presión vertical de 400 kn / m. Se pide: a) Parámetros de presión intersticial. b) Cohesión efectiva de la arcilla. a) Parámetros de presión intersticial SOLUCIÓN El ensayo de compresión simple, y después el triaxial, se realizan sobre muestras inalteradas de una arcilla las cuales, en principio, podrían no estar saturadas ya que no se aplica presión de cola. Puesto que la relación que existe entre la humedad, peso específico relativo de las partículas, grado de saturación y peso específico seco es: γ d Gs γ ω G + ω S s r sustituyendo los datos proporcionados en el enunciado y despejando, se obtiene un grado de saturación del 90%. El parámetro B de presión intersticial está relacionado con el grado de saturación (figura 4.4). Para un grado de saturación del 90% se tiene B 0'8. 49

32 Problemas de Geotecnia y Cimientos 0'8 Parámetro B 0'6 0'4 0' 0 0 0' 0'4 0'6 0'8 Grado de saturación Figura 4.4 Por otra parte, en el experimento realizado en el triaxial, pueden considerarse los siguientes estados (figura 4.5): - ESTADO : Inicial de la muestra al ser colocada en el triaxial. No hay aplicadas ni presión de célula ni vertical. La presión intersticial en la muestra es 40 kn/m. - ESTADO : Aplicación de una presión de célula σ 3 00 kn/m y de una presión vertical σ 400 kn/m, y como consecuencia e inmediatamente, la presión intersticial en la muestra pasa a ser de 96 kn/m. Así pues, la variación de presión intersticial que se produce a pasar del estado al estado es: u 96 (- 40) 36 kn / m habiendo sido originada por los siguientes incrementos de presión total: σ kn / m σ kn / m 50

33 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante 400 kn / m 00 kn / m - 40 kn / m 96 kn / m 00 kn / m 400 kn / m ESTADO ESTADO Figura 4.5 La fórmula de Skempton se expresa como: u B [ σ 3 + A ( σ - σ 3 ) ] Sustituyendo los valores anteriores y para B 0'8 se obtiene: A - 0'5 B 0'8 b) Cohesión efectiva En el ensayo de compresión simple pueden considerarse los siguientes estados (figura 4.6): 5

34 Problemas de Geotecnia y Cimientos 96 kn / m - 40 kn / m u r ESTADO ESTADO Figura ESTADO : Inicial de la muestra al ser colocada en el aparato. No hay ninguna presión exterior aplicada. La presión intersticial en la muestra es 40 kn / m. - ESTADO : Rotura. Se incrementa rápidamente (sin drenaje) la presión vertical hasta producir la rotura en un valor igual a su resistencia a compresión simple que según el enunciado es 96 kn / m. En este momento, la presión intersticial es desconocida y de valor u r. La variación de presión intersticial que se produce al pasar del estado al estado es: u u r ( 40) u r + 40 kn / m habiendo sido originada por los siguientes incrementos de presión total: σ kn / m σ kn / m 5

35 Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante τ (kn / m ) φ' 5º r c' O c' cotg 5º p C - u r C' σ' 3 96 σ' σ', σ (kn / m ) p' Figura 4.7 Sustituyendo valores en la fórmula de Skempton queda: u B [ σ 3 + A ( σ - σ 3 ) ] u r '8 ( - 0'5 96) -'5 y por lo tanto: u r - 5'5 kn/m Por otra parte, en el estado se alcanza la rotura y por lo tanto, el círculo de Mohr en efectivas será tangente a la línea de resistencia intrínseca (figura 4.7). 53

36 Problemas de Geotecnia y Cimientos La condición de tangencia se expresa: c' + p ur sen φ' r tgφ' c' tg5º σr + + 5'5 sen 5º c' tg5º 96 σr + + 5'5 sen 5º 96 Despejando la cohesión efectiva, se obtiene: c' 6'56 kn/m 54

37 Capítulo 6 EMPUJES DEL TERRENO

38 Problemas de Geotecnia y Cimientos 84

39 Capítulo 6 - Empujes del terreno PROBLEMA 6. Aplicando el método de Rankine, calcular la resultante de empujes y su punto de aplicación en el muro indicado en la figura 6. si el nivel freático se encuentra a 5 m de la coronación. Las propiedades geotécnicas del terreno son: φ' 8º ; c' 0 ; γ 8 kn / m 3 ; γ sat 9'5 kn / m 3 z 5 m N.F. 5 m IMPERMEABLE Figura 6. 85

40 Problemas de Geotecnia y Cimientos SOLUCIÓN Aplicando la teoría de Rankine, la distribución de empujes activos en un muro de trasdós vertical y terreno horizontal en coronación viene dada por la siguiente expresión: e σ k c k () a v a a siendo e' a y σ' v el empuje unitario activo efectivo y la presión efectiva vertical a una profundidad z, respectivamente, y k a el coeficiente de empuje activo. Se hace pues necesario determinar la distribución de presiones efectivas verticales. Adoptando el origen del eje z en la coronación (figura 6.), se tiene: 0 z 5 σ ν γ z 8 z kn / m u 0 (Se supone que no existe capilaridad) σ' ν σ ν - u 8 z kn / m 5 z 0 σ ν γ 5 + γ sat (z - 5) 9'5 z 7'5 kn / m u γ w (z - 5) 0 (z - 5) kn / m σ' ν σ ν - u 9'5 z + 4'5 kn / m El coeficiente de empuje activo viene dado por: senφ sen8º k a 0'36 + senφ + sen8º 86

41 Capítulo 6 - Empujes del terreno Así pues, y a partir de la expresión (), se obtiene la siguiente distribución de empujes activos efectivos: 0 z 5 e' a 0'36 8 z 6'498 z kn / m z 0 e' a 0 z 5 e' a 3'49 kn / m 5 z 0 e' a 0'36 (9'5 z + 4'5 ) 3'43 z + 5'34 kn / m z 5 e' a 3'49 kn / m z 0 e' a 49'64 kn / m Además de los empujes efectivos, sobre el muro actuará el empuje del agua, cuya distribución es: 0 z 5 u 0 5 z 0 u 0 (z - 5) Para z 0 u 50 kn / m 87

42 E' a E'a3 Ew Problemas de Geotecnia y Cimientos E' a 3'49 kn / m 49'64 kn / m 50 kn / m Figura 6. En la figura 6. se han representado las leyes de empujes unitarios activos efectivos y del agua. La resultante de empujes totales sobre el muro será: E E' a + E w siendo E' a y E w las resultantes del empuje activo efectivo y del empuje del agua. Por comodidad en los cálculos, se hace la siguiente descomposición: siendo: E' a E' a + E' a + E' a3 E' a 0'5 3'49 5 8'3 kn / m E' a 5 3'49 6'45 kn / m E' a3 0'5 5 (49'64-3'49) 4'88 kn / m E w 0' kn / m En consecuencia el empuje total sobre el muro es: E 4'56 kn / m 88

43 Capítulo 6 - Empujes del terreno 4'56 kn / m '98 m Figura 6.3 El punto de aplicación de la resultante h (figura 6.3) se obtiene tomando momentos con respecto a la base del muro: h E' a E' a + E' 3 4'56 a E 3 w 5 3 '98m E 4'56 kn / m h '98m 89

44 Problemas de Geotecnia y Cimientos PROBLEMA 6. Aplicando el método de Rankine, determinar en el muro indicado en la figura 6.4 la resultante de los empujes y su punto de aplicación. z N.F. 4 m Arcillas 3 m Arenas IMPERMEABLE Figura 6.4 Las características geotécnicas del terreno son: Terreno φ' (º) c' (kn / m ) γ sat (kn / m 3 ) Arcillas Arenas

45 Capítulo 6 - Empujes del terreno SOLUCIÓN Como se ha indicado en el problema 6., la aplicación del método de Rankine al cálculo de los empujes efectivos en un muro de trasdós vertical y terreno horizontal en coronación exige la determinación previa de la distribución de presiones efectivas verticales existente en dicho trasdós. Estando el agua en reposo, la distribución de presiones intersticiales será la hidrostática. Con el método de Rankine, los empujes efectivos unitarios se obtienen a partir de la siguiente expresión: e' a σ' ν k a c' k a siendo k a el coeficiente de empuje activo y c' la cohesión efectiva. Adoptando el origen del eje z en la coronación del muro (figura 6.4), se tienen las siguientes distribuciones: 0 z 4 (Nivel superior de arcillas) arcilla σ ν γ sat z 0 z kn / m u γ ω z 0 z kn / m σ' ν σ ν - u 0 z - 0 z 0z kn / m senφ' + senφ' sen8 + sen8 º k a arcilla º arcilla 0'36 e' a 0'36 0 z 0 0'36 3'6 z '0 kn/ m Si se analiza la última expresión, puede comprobarse que la distribución de empujes es negativa (tracciones) desde la coronación hasta una cierta profundidad z g. En esta zona, teóricamente, el terreno rompe a tracción, dando lugar a la aparición de grietas de tracción y los empujes efectivos son nulos. 9

46 Problemas de Geotecnia y Cimientos zg 3'33 m 0'67 m '4 kn / m 0'83 KN / m + 3 m 0'58 kn / m 70 kn / m Figura 6.5 La profundidad z g es aquella en donde e' a 0, es decir: 3'6 z g - '0 0 '0 z g 3'33m 3'6 La distribución de empujes efectivos es lineal y tiene los siguientes valores: z 3'33 m e' a 0 z 4 m e' a 3'6 4 - '0 '4 kn / m y como c' 0 4 z 7 (Nivel de arenas) σ ν γ sat arcilla 4 + γ sat arena ( z - 4 ) 0 x 4 + ( z - 4 ) z - 8 kn / m u γ ω z 0 z kn / m σ' ν σ ν - u z - 8 kn / m senφ' + senφ' sen35 + sen35 º k a arena º arena 0'7 e' a σ' ν k a 0'7 ( z 8) 3'5z '7 kn/ m 9

47 Capítulo 6 - Empujes del terreno zg 3'33 m 0'67 m E' + ET 3 m E' E' 3 E W de T Figura 6.6 Esta distribución es también lineal y adopta los siguientes valores: z 4 m e' a 3'5 x 4 - '7 0'83 kn / m z 7 m e' a 3'5 x 7 - '7 0'58 kn / m En la figura 6.5 se representan las distribuciones de empujes activos efectivos unitarios y del agua sobre el muro. Como se puede observar, la presencia de dos terrenos diferentes produce una discontinuidad en la distribución de empujes activos efectivos unitarios. Por comodidad, para el cálculo de la resultante de los empujes sobre el muro se realiza la descomposición indicada en la figura 6.6. Como: E' '4 0'67 0'8 E' 3 0'83 3'49 kn/ m kn/ m E' 3 E ω ( 0'58 0'83) 3 4'63 kn/ m kn/ m la resultante total de empujes vale: E T E' a + E ω E' + E' + E' 3 + E' ω 9'93 kn / m 93

48 Problemas de Geotecnia y Cimientos Su punto de aplicación se puede obtener tomando momentos estáticos respecto a la base del muro. Si de T es la distancia de dicha resultante a la base, entonces: de donde: 0' ET det 0' '49 + 4' de T '8 m 7 3 E T E' a + E ω 9'93 kn / m de T '8 m 94

49 Capítulo 6 - Empujes del terreno PROBLEMA 6.3 Calcular por el método de Rankine la distribución de empujes activos actuantes en el trasdós del muro indicado en la figura 6.7. El terreno tiene las siguientes propiedades: φ' º ; c' 0 kn / m ; γ 8'5 kn / m 3 q 5 kn / m z 8 m Figura 6.7 Solución: '85 m 6'5 m 5'75 kn / m 95

50 Problemas de Geotecnia y Cimientos PROBLEMA 6.4 Aplicando el método de Rankine, calcular la resultante de los empujes en el trasdós del muro indicado en la figura 6.8, cuya coronación se mantiene inundada con una lámina de agua de m. m Agua '5 m Arena '5 m N.F. Arena Figura 6.8 Las características geotécnicas del terreno son: Terreno φ' (º) γ sat (kn / m 3 ) k (m / s) Arena Arena

51 Capítulo 6 - Empujes del terreno m B z Agua '5 m Arena C '5 m A N.F. Arena Figura 6.9 SOLUCIÓN Al igual que en los problemas anteriores, la aplicación del método de Rankine al cálculo de los empujes efectivos exige en principio la determinación de la distribución de presiones efectivas verticales en el trasdós. Dadas las condiciones impuestas en el problema, a priori, debe sospecharse la existencia de un flujo de agua y ello es posible si existe una diferencia de potencial hidráulico. Si se toma el eje z en la superficie del terreno (figura 6.9), los potenciales en los puntos A y B son: h A - z A u + γ A ω ub hb - zb γ ω m m Hay pues una diferencia de potencial hidráulico y consecuentemente, existe un flujo de agua, que en este caso es vertical y hacia abajo, y a través de un terreno estratificado. 97

52 Problemas de Geotecnia y Cimientos Para el cálculo de las presiones intersticiales se hace necesario determinar los gradientes existentes en cada estrato, y ello se realiza de la misma forma que en el problema.8. La permeabilidad equivalente vertical es: k v i i! e i ei k i '5 + '5 '5 ' '8 0 m/ s y el gradiente existente entre los puntos A y B vale: i h L AB 5 4 AB '5 Como debe verificarse por continuidad que: k v i k i k i los gradientes que resultan son: 5' '5 i 5' '5 i '455 0'909 Ahora ya se puede proceder a calcular las presiones efectivas y los empujes. 98

53 Capítulo 6 - Empujes del terreno En un punto Z situado a una profundidad z, se tiene: 0 z '5 (arena ) σ v 0 + z kn/ m u hz z + hb hbz i z '455 z γ u ω ( 0'455 z) 0 0 4'55z kn/m u 0 para z ' m σ ' σ u z '55z 5'55 z v v kn/ m senφ' sen8 + senφ' + sen8 º k a º 0'36 e' a σ' v k a c' k a e ' σ' k 5'55z 0'36 9' z a v a kn/ m z 0 e' a 0 z '5 e' a 3'05 kn / m 99

54 Problemas de Geotecnia y Cimientos m 0 '5 m '5 m 3'05 9'6 -'375 9'3 + Figura 6.0 '5 z 4 (arena ) σ v ( z '5) z 7'5 kn/ m 0 + '5 + + u hz z + hb hbz γ ω [ '5 i + (z '5) i ] 0'909 z 0' 365 u 0'9 z 3'65 kn/m σ ' σ u '09 z + '5 v v z kn/ m senφ' sen3 + senφ' + sen3 º k a º a v a 0'307 ( '09z + '5) 0'307 6'47 z 3'4 kn/ m e ' σ' k + z '5 e' a 9'6 kn / m z 4 e' a 9'3 kn / m En la figura 6.0 se han representado las distribuciones de empujes activos unitarios y del agua. 00

55 Capítulo 6 - Empujes del terreno m U 0 U '5 m '5 m E' 9'6 E' 3'05 E' 3 + 0'3 '375 U U 3 4 E T d E T 9'3 Figura 6. Por comodidad y para obtener la resultante de los empujes sobre el muro y su punto de aplicación, se ha realizado la descomposición indicado en la figura 6.. El empuje total sobre el muro será: E T E' a + E ω con : E ' E' + E' + E' a 3 E U + ω + U + U3 U4 y siendo: E' 3'05 '5 E' 9'60 '5 9'4 8'8 kn/ m kn/ m E' 3 U 0 5 kn/ m U ' 0 kn/ m U 3 0'3 '375 0' kn/ U 4 ( '375) '5 '03 kn/ m ( 9'3 9'6) '5 7'8 kn/ m ( ) m 0

56 Problemas de Geotecnia y Cimientos entonces: ET E' a + Eω 65'47 + 4'77 80'5 kn/m Tomando ahora momentos estáticos respecto a la base del muro, se obtiene que la distancia a la línea de acción de la resultante es: de T '86m ET E' a + Eω de T '86m 80'5 kn/ m 0

57 Capítulo 6 - Empujes del terreno PROBLEMA 6.5 En el terreno indicado en la figura 6., se pretende realizar una excavación de 4 m de profundidad al abrigo de tablestacas, actuando en superficie una sobrecarga de 0 kn / m. Se pide determinar la profundidad de empotramiento d de las tablestacas: 0 kn / m 4 m Arena d Figura 6. a) Sin apuntalamientos. b) Con puntales en coronación. En este caso se determinará la carga P en los puntales. En ambos casos, se adoptará un coeficiente de reducción de '5 para los empujes pasivos. Las propiedades geotécnicas de la arena son: φ' 35º ; γ kn / m 3 03

58 Problemas de Geotecnia y Cimientos 0 kn / m 4 m Activo d s d Activo Pasivo O Pasivo Figura 6.3 SOLUCIÓN a) Profundidad de empotramiento de las tablestacas en voladizo Se supone que cuando el tablestacado entra en carga, gira alrededor del punto O, movilizando los empujes activos y pasivos cuyas distribuciones se muestran en la figura 6.3. Por encima del punto O, en el trasdós se movilizan empujes activos mientras que en el intradós son pasivos los empujes movilizados. Se trata de un problema hiperestático, cuya resolución requiere realizar una hipótesis. Si se cortara el tablestacado por el punto O, sea R ( contraempuje ) la acción horizontal de la parte inferior y V la vertical (figura 6.4). Usualmente, se supone que el momento flector en el punto O es nulo. Puesto que R no proporciona momento, ello permite escribir una ecuación en la que la única incógnita es d. El empotramiento real d s se admite en la práctica que es ' d. El cálculo de los empujes se realiza aplicando el método de Rankine. 04

59 Capítulo 6 - Empujes del terreno 0 kn / m z 4 m z d Pasivo Activo O V R Figura 6.4 Empujes en el trasdós Se toma el origen del eje z en la superficie del terreno (figura 6.4): para σ v γ z + q z + 0 kn / m u 0 σ' v z + 0 kn / m e' a σ' ν k a c' senφ' sen35 + senφ' + sen35 º k a º a k a 0 z 4 + d 0'7 ( z + 0) 0'7 5'67z '7 kn/ m e ' + z 0 e' a '7 kn / m z 4 + d e' a 5'67 (4 + d) + '7 5'38 + 5'67 d kn / m 05

60 Problemas de Geotecnia y Cimientos Empujes en el intradós Tomando ahora el origen del eje z en el fondo de la excavación (figura 6.4), se tiene: σ v γ z z kn / m u 0 σ' v z kn / m 0 z d Según Rankine, los empujes pasivos unitarios en un trasdós vertical vienen dados por: e ' k + c' p σ' ν p k p siendo k p el coeficiente de empuje pasivo que se calcula del siguiente modo: k Por lo tanto: + senφ' senφ' k p a 3'69 e ' z 3'69 77'49z p kn/ m para z 0 e' p 0 z d e' p 77'49 d kn / m Como en el enunciado se indica un coeficiente reductor para el empuje pasivo de '5, en los cálculos debe adoptarse: z 0 e' p 0 z d e' p 77'49 d/'5 5'66d kn / m 06

61 Capítulo 6 - Empujes del terreno '7 kn / m 4 m E' a d Pasivo E' P E' a Activo 5'66 d kn / m O 5'38+5'67 d kn / m Figura 6.5 En la figura 6.5 se han representado las distribuciones unitarias de empujes activos y pasivos obtenidas y la descomposición que se realiza para el cálculo de las resultantes. - Empuje activo. E' a E' a + E' a E' a '7 (4 + d) 0'8 + '7 d kn / m E' a 0'5 (5' d '7) (4 + d) 835 d + '68 d + 45'36 kn/m E' a '835 d + 5'38 d + 56'6 kn / m - Empuje pasivo máximo. E' 77'49 d d p 38'75 d kn/ m Como en el enunciado se indica un coeficiente reductor para el empuje pasivo de '5, en los cálculos debe adoptarse: 38'75 d E' '5 p 5'83d kn/m 07

62 Problemas de Geotecnia y Cimientos P A 4 m Pasivo d s Activo Figura 6.6 Como el momento flector en O se admite nulo, entonces: E' a d E'a + E' a d E'a - E' p d E'p d ( ) ( ) 3 0'8 + '7 d + ( '835 d + '68 d + 45'36) ( 4 + d) 5'83 d Resolviendo esta ecuación cúbica, resulta d 4'09 m Debido a la hipótesis realizada en el cálculo, la longitud de tablestaca por debajo del punto O suele admitirse que es del orden del 0% de d, y en consecuencia, la longitud de empotramiento resultante de las tablestacas es: d s ' d ' 4'09 4'9 m 08

63 Capítulo 6 - Empujes del terreno b) Profundidad de empotramiento para el tablestacado apuntalado en cabeza En este caso es usual admitir que cuando el tablestacado entra en carga, el giro se produce alrededor del punto de aplicación del puntal (A), movilizándose los empujes indicados en la figura 6.6. Ahora, la ecuación de equilibrio de momentos en A permite obtener la profundidad de empotramiento y seguidamente, la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales proporciona la fuerza P en el puntal. Las distribuciones de empujes son las mismas que en el caso anterior si se sustituye d por d s (figura 6.7). Estableciendo el equilibrio de momentos en A: 4 + d 0 s s s s s 3 3 ( ) ( ) s '8 + '7d + ( '835d + '68 d + 45'36) ( 4 + d ) 5'83 d (4 + d ) 0 s ecuación cúbica que resuelta proporciona el siguiente valor: d s '74 m 09

64 Problemas de Geotecnia y Cimientos P A '7 kn / m 4 m E' a d s Pasivo E' P E' a Activo 5'66 d kn / m s 5'38+5'67 d kn / m s Figura 6.7 El equilibrio de fuerzas horizontales impone que: P E' E' a p '835d s + 5'38d s + 56'6 5'83d s que proporciona el siguiente resultado: P 30'70 kn/m Como se puede observar, la colocación de un apuntalamiento en coronación reduce la profundidad de empotramiento de 4'9 m a '74 m. 0

65 Capítulo 6 - Empujes del terreno PROBLEMA 6.6 Determinar el ancho de la cimentación del muro indicado en la figura 6.8 para cumplir las condiciones de estabilidad al vuelco, al deslizamiento y del paso de la resultante por el núcleo central. m 0'8 V:H '5 m Figura 6.8 Se adoptarán los siguientes valores para los coeficientes de seguridad: Vuelco (F v ) '0 Deslizamiento (F d ) '5. Las características geotécnicas del terreno son: φ' 33º ; δ 0º ; c' 0 ; γ 9 kn / m 3 Para el hormigón se adoptará un peso específico γ h 5 kn / m 3.

66 Problemas de Geotecnia y Cimientos m 0'8 V:H W '5 m δ E E' T N N' Figura 6.9 SOLUCIÓN El dimensionamiento de la base de muro requiere conocer las acciones que actúan sobre el mismo, siendo el primer paso la determinación de los empujes del terreno. a) Cálculo de los empujes El problema impone un valor del coeficiente de rozamiento muro-terreno (δ). En consecuencia, se aplicará para el cálculo de los empujes de tierras el método de Coulomb ya que el de Rankine no es válido. El método de Coulomb para la estimación del empuje activo se basa en establecer el equilibrio de una cuña de empuje que desliza sobre un plano, debiéndose buscar el plano de rotura que proporciona el empuje máximo. Sea un plano de deslizamiento cualquiera definido por su inclinación α respecto a la horizontal. Sobre la cuña así delimitada actúan las fuerzas indicadas en la figura 6.9.

67 Capítulo 6 - Empujes del terreno m m W 3'5 m '5 m Figura 6.0 Puesto que no hay agua, las reacciones normales efectiva (N') y total (N) en el plano de deslizamiento son iguales, así como las resultantes del empuje activo efectivo (E') y total (E). En el cálculo del peso W, deben distinguirse dos casos, dependiendo del valor del ángulo α: - Caso : 0 α α 60'6º (figura 6.0) 3'5 Área tgα 6'3 tgα 6'47 W 9 área 9 tgα kn/ m - Caso : 60'6º α 90º (figura 6.) '5 + x tgα x W 9 '5 x tgα 8'75 '5 x tgα 3

68 Problemas de Geotecnia y Cimientos V:H x '5 m x Figura 6. La resultante de los empujes está inclinada un ángulo δ respecto a la normal al trasdós y puede descomponerse en sus componentes horizontal y vertical (figura 6.): E' x E' cos 0º () E' y E' sen 0º () En el plano de deslizamiento actúan la resultante de las tensiones normales (N') y la resultante de la máxima resistencia a esfuerzo cortante (T) que puede movilizarse en ese plano: T N' tg 33º (3) Con ello, el equilibrio fuerzas verticales se escribe: W - N' cos α - T sen α - E' y 0 (4) y el de fuerzas horizontales como: E' x + T cos α - N' sen α 0 (5) 4

69 Capítulo 6 - Empujes del terreno W N' T E' y E' x 0º E' Figura 6. Sustituyendo () en (5), () en (4), (3) en (4) y en (5), despejando N' de (4) y sustituyendo en (5), se obtiene el empuje E' en función de α, determinándose su valor máximo igualando a cero la derivada respecto a α, que resulta ser: para E' 3'50 kn / m α 54º Es importante señalar, que el punto de aplicación de la resultante de los empujes de tierras sobre el muro no queda definida cuando se utiliza el método de Coulomb. En este problema se aceptará la aproximación de situar la resultante a un tercio de la altura del muro desde la cimentación. 5

70 Problemas de Geotecnia y Cimientos B B b 0'8 b 0'8 '5 m W E E' 0º '5 m W E v E h O H_ 3 O W _H 3 T N' N T N' N Figura 6.3 b) Cálculo de las acciones sobre el muro El muro debe ser dimensionado para que sea estable frente a las acciones que ha de soportar. Las fuerzas actuantes sobre el muro son las siguientes (figura 6.3): W: Peso del muro. E: Resultante de los empujes en el trasdós del muro. T: Resultante de la resistencia a deslizamiento desarrollada en la cimentación del muro. N': Resultante de las presiones efectivas normales en la cimentación del muro. Por comodidad en los cálculos, el peso del muro se descompone del siguiente modo: W 5 0'8 '5 50 kn / m W 5 '5 b 3'5 b kn / m 6

71 Capítulo 6 - Empujes del terreno Y las resultante de los empujes en sus componentes horizontal y vertical: E h E cos δ 3'5 cos 0º '08 kn / m E v E sen δ 3'5 sen 0º 8'04 kn / m El equilibrio de fuerzas horizontales exige: T E h T '08 kn / m Y el equilibrio de fuerzas verticales se escribe : N' W + W + E v '5 b + 8'04 58'04 + 3'5 b kn / m c) Comprobación de la seguridad al vuelco El coeficiente de seguridad frente al vuelco se define como el cociente entre la suma de los momentos estabilizadores y la suma de los momentos volcadores: F v M M est vol Los momentos deben ser tomados respecto del punto O (figura 6.3). Para la diferenciación entre momentos volcadores y momentos estabilizadores se adoptará como criterio el contemplado en la ROM que dice: Cada acción individual será descompuesta en dos direcciones una vertical y otra horizontal. Se considerarán como fuerzas estabilizadoras todas las componentes verticales de las acciones, ya sea su momento de uno u otro signo (la subpresión, por ejemplo, sería una fuerza estabilizadora negativa). El posible empuje pasivo que se pueda oponer al vuelco, también será contabilizado como estabilizador. El resto de las componentes horizontales se contabilizaran, con su signo correspondiente, en el cálculo de la suma de los momentos volcadores. 7

72 Problemas de Geotecnia y Cimientos Si el coeficiente de seguridad debe ser igual a, con este criterio deberá verificarse: F W (b + 0'4) + W b + E 3 '5 Eh 3 (b + 0'8) v v Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente y resolviendo la ecuación, se obtiene un valor de b 0'7 m. d) Comprobación de la seguridad al deslizamiento No existiendo empujes del terreno en la puntera, el coeficiente de seguridad al deslizamiento se expresa como: T F d T máx nec T max es la resultante de la máxima resistencia a deslizamiento que ofrece el cimiento: T max c a B' + N' tg δ siendo c a la adherencia entre el cimiento y el terreno (nula si lo es la cohesión del terreno) y B' el ancho eficaz de la cimentación. Así pues: T max (58'04 + 3'5 b) tg 0º kn / m T nec es la resultante de la resistencia a deslizamiento que debe movilizarse para que haya equilibrio: T nec E' h '08 kn / m 8

73 Capítulo 6 - Empujes del terreno Para tener un coeficiente de seguridad frente al deslizamiento de '5, se debe verificar que: (58'04 + 3'5b) tg 0º F d '5 '08 Esta ecuación resuelta proporciona un valor de b '05 m que es más restrictivo que el valor deducido para la condición de vuelco. Se adoptará pues: B b + 0'8 '85 m. e) Comprobación de paso de la resultante por el núcleo central del cimiento Para el ancho B calculado anteriormente, las fuerzas que actúan por encima del cimiento del muro son: W 50 kn / m W 3'8 kn / m E h '08 kn / m E v 8'04 kn / m Este sistema de fuerzas, figura 6.4, se reduce en el centro de gravedad del cimiento a un momento (M), a una fuerza vertical (N) y a una fuerza horizontal (H): N '8 + 8'04 90'85 kn / m M 50 0'5 3'8 0' '08 0'83 + 8'04 0'9 7'85 kn m / m H E h '08 kn/m 9

74 Problemas de Geotecnia y Cimientos '85 m '05 m 0'8 m '5 m W E v E h W 0'83 m N M H 0'9 m 0'9 m Figura 6.4 Para que la resultante de fuerzas pase por el núcleo central se debe cumplir que la excentricidad sea: B e 6 m en este caso: M 7'85 B '85 e 0'09 m < 0'3m? cumple N' 90'

75 Capítulo 6 - Empujes del terreno PROBLEMA 6.7 Aplicando el método de Coulomb, calcular la resultante del empuje activo sobre el muro indicado en la figura 6.5. Las características del terreno son: φ' 8º ; δ 0º ; c' 0 ; γ 8 kn / m 3 0º 6 m E 0º m Figura 6.5 Solución: E 49 kn / m

76 Problemas de Geotecnia y Cimientos PROBLEMA 6.8 Comprobar las condiciones de estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco del muro indicado en la figura 6.6. Las características del terreno son: Terreno Pesos específicos (kn/m 3 ) φ' (º) c' (kn/m ) Arcillas Arenas γ 7 γ sat '5 m q 5 KN/m z 4 m Arcillas N.F. N.F. m z '5 m Arenas 4'5 m Figura 6.6 En el nivel de arcillas se despreciarán los efectos capilares y para el hormigón se adoptará un peso específico del hormigón γ H 5 kn / m 3. Para los pasivos se considerará un coeficiente de reducción de '5.

77 Capítulo 6 - Empujes del terreno SOLUCIÓN a) Cálculo de empujes Puesto que el problema no impone un rozamiento muro - terreno (δ), se pueden calcular los empujes aplicando el método de Rankine. Empujes activos en trasdós Se adopta el origen del eje z en la coronación (figura 6.6). 0 z 4 (Nivel de arcillas) Si se desprecian los efectos capilares en las arcillas, las presiones intersticiales de cálculo son nulas. Por consiguiente: σ ν σ' ν 7 z + 5 kn / m º sen8 k a 0'36 º + sen8 e' a σ' ν k a c' k a e' a 6'4 z '6 kn / m Puesto que la arcilla presenta cohesión, se debe comprobar la existencia de grietas de tracción y en su caso estimar la profundidad. Si Para '6 e' a 0 zg '05m 6'4 z 4 m e' a '95 kn / m 3

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